Задания 11-ой (2011 года) Международной дистанционной математической олимпиады школьников "Третье тысячелетие"
5 класс
1. Береговая линия пруда состоит из n прямолинейных отрезков. Когда ударил мороз, лёд покрыл часть пруда на расстоянии до 100м от береговой линии. Оказалось, что оставшаяся незамёрзшей часть пруда состоит из трёх несвязанных между собой частей. Найдите наименьшее  n, при котором это возможно.
2. Слесарь обработал металлическую заготовку таким образом, что она сохранила форму параллелепипеда, но уменьшилась в размерах. Оказалось, что площадь одной грани уменьшилась на 28%, другой – на 37%, а третьей – на 44%. На сколько процентов уменьшился объём заготовки?
3. Вася закрашивает клетки квадрата 5х5 . Он хочет, чтобы для каждой клетки все соседние (имеющие с ней общую сторону) были закрашены в разные цвета. Какое наименьшее количество цветов он должен использовать?
4. Один фермер привёз на рынок 5 тонн ячменя, который он хотел бы продать по 99 евро за тонну, и 6 тонн ржи по 97 евро за тонну. У другого фермера 6 тонн ячменя по 98 евро за тонну и 7 тонн ржи тоже по 98 евро за тонну. Каждый фермер согласен отдать весь свой товар, если итоговая сумма совпадёт с той, которую он намеревался выручить за всю партию. Перекупщик хочет скупить обе партии товара, назначив одни и те же для обоих фермеров цены ячменя и ржи. Какие именно цены он должен назначить, чтобы скупить обе партии товара?
5. Из пяти различных цифр Миша составил пятизначное число. Взяв оставшиеся пять цифр, Лёша тоже составил из них пятизначное число. Наташа сложила числа мальчиков. Могло ли у неё получиться число, в котором три единицы и три пятёрки?
6. Какую наименьшую сумму цифр может иметь натуральное число, делящееся на 5 ? на 55 ? на 555 ?

6 класс
1. Береговая линия пруда состоит из n прямолинейных отрезков. Когда ударил мороз, лёд покрыл часть пруда на расстоянии до 100м от береговой линии. Оказалось, что оставшаяся незамёрзшей часть пруда состоит из трёх несвязанных между собой частей. Найдите наименьшее  n, при котором это возможно.
2. Слесарь обработал металлическую заготовку таким образом, что она сохранила форму параллелепипеда, но уменьшилась в размерах. Оказалось, что площадь одной грани уменьшилась на 28%, другой – на 37%, а третьей – на 44%. На сколько процентов уменьшился объём заготовки?
3. Вася закрашивает клетки квадрата 6х6 . Он хочет, чтобы для каждой клетки все соседние (имеющие с ней общую сторону) были закрашены в разные цвета. Какое наименьшее количество цветов он должен использовать?
4. Один фермер привёз на рынок 9 тонн сахара, который он хотел бы продать по 35 евро за тонну, и 10 тонн соли по 39 евро за тонну. У другого фермера 10 тонн сахара по 36 евро за тонну и 11 тонн соли по 38 евро за тонну. Каждый фермер согласен отдать весь свой товар, если итоговая сумма совпадёт с той, которую он намеревался выручить за всю партию. Перекупщик хочет скупить обе партии товара, назначив одни и те же для обоих фермеров цены сахара и соли. Какие именно цены он должен назначить, чтобы скупить обе партии товара?
5. Каждую сторону правильного пятиугольника разбили на три равные части. Все точки деления попарно соединили друг с другом. Сколько при этом получилось точек пересечения? (Концы отрезков не засчитываются как пересечения, а общее пересечение трех или более отрезков считается за одну точку.) 
6. Какую наименьшую сумму цифр может иметь натуральное число, делящееся на 6 ? на 66 ? на 666 ?

7 класс
1. Береговая линия пруда состоит из n прямолинейных отрезков. Когда ударил мороз, лёд покрыл часть пруда на расстоянии до 100м от береговой линии. Оказалось, что оставшаяся незамёрзшей часть пруда состоит из трёх несвязанных между собой частей. Найдите наименьшее  n, при котором это возможно.
2. Слесарь обработал металлическую заготовку таким образом, что она сохранила форму параллелепипеда, но уменьшилась в размерах. Оказалось, что площадь одной грани уменьшилась на 28%, другой – на 37%, а третьей – на 44%. На сколько процентов уменьшился объём заготовки?
3. Вася закрашивает клетки квадрата 7х7. Он хочет, чтобы для каждой клетки все соседние (имеющие с ней общую вершину) были закрашены в разные цвета. Какое наименьшее количество цветов он должен использовать?
4. Один фермер привёз на рынок 18 тонн стали, который он хотел бы продать по 25 евро за тонну, и 19 тонн угля по 29 евро за тонну. У другого фермера 19 тонн стали по 26 евро за тонну и 20 тонн угля по 28 евро за тонну. Каждый фермер согласен отдать весь свой товар, если итоговая сумма совпадёт с той, которую он намеревался выручить за всю партию. Перекупщик хочет скупить обе партии товара, назначив одни и те же для обоих фермеров цены стали и угля. Какие именно цены он должен назначить, чтобы скупить обе партии товара?
5. Автобусный билет имеет шестизначный номер. Каждая серия номеров (от 000000 до 999999) разбивается на тысячу катушек из тысячи билетов, у всех номеров в каждой из которых совпадают первые три цифры. Билет называется счастливым, если сумма этих первых трех цифр номера равна сумме трех его последних цифр. Чему равно наибольшее число счастливых билетов в одной катушке? Сколько таких катушек?
6. Какую наименьшую сумму цифр может иметь натуральное число, делящееся на 7 ? на 77 ? на 777 ?

8 класс

1. Береговая линия пруда состоит из n прямолинейных отрезков. Когда ударил мороз, лёд покрыл часть пруда на расстоянии до 100м от береговой линии. Оказалось, что оставшаяся незамёрзшей часть пруда состоит из трёх несвязанных между собой частей. Найдите наименьшее  n, при котором это возможно.
2. Слесарь обработал металлическую заготовку таким образом, что она сохранила форму параллелепипеда, но уменьшилась в размерах. Оказалось, что площадь одной грани уменьшилась на 28%, другой – на 37%, а третьей – на 44%. На сколько процентов уменьшился объём заготовки?
3. Вася закрашивает клетки квадрата 8х8. Он хочет, чтобы для каждой клетки все соседние (имеющие с ней общую вершину) были закрашены в разные цвета. Какое наименьшее количество цветов он должен использовать?
4. На плоскости выбрали n точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые из них выделили красным цветом, а все остальные – синим. Затем каждую синюю точку соединили с каждой красной. Оказалось, что провели ровно 2011 отрезков. Найдите   n.
5. У Коли есть 8 кубиков, грани которых единообразно закрашены в 6 разных цветов. Коля хочет сложить из них куб вдвое большего размера так, чтобы каждая его грань складывалась из четвертинок одного и того же цвета. Сколько различных цветов может при этом оказаться на поверхности большого куба?
6. Один фермер привёз на рынок 21 тонну мяса, которое он хотел бы продать по 45 евро за тонну, и 23 тонны молока по 49 евро за тонну. У другого фермера 23 тонны мяса по 46 евро за тонну и 25 тонн молока по 48 евро за тонну. Каждый фермер согласен отдать весь свой товар, если итоговая сумма совпадёт с той, которую он намеревался выручить за всю партию. Перекупщик хочет скупить обе партии товара, назначив одни и те же для обоих фермеров цены мяса и молока. Какие именно цены он должен назначить, чтобы скупить обе партии товара?

9 класс
1. Береговая линия пруда состоит из n прямолинейных отрезков. Когда ударил мороз, лёд покрыл часть пруда на расстоянии до 100м от береговой линии. Оказалось, что оставшаяся незамёрзшей часть пруда состоит из трёх несвязанных между собой частей. Найдите наименьшее  n, при котором это возможно.
2. Вершины правильного многоугольника занумеровали по порядку. Одну из вершин соединили отрезками с 1-й и 2011-й. Оказалось, что угол между этими отрезками равен 30º. Сколько сторон у этого правильного многоугольника? 
3. Найдите не менее трёх простых чисел, каждое из которых записывается как 2011 в системе счисления с некоторым основанием d (и укажите подходящие основания).
4. Занумеруем стороны правильного пятиугольника по кругу: на втором обходе первая сторона получит номер 6, вторая – 7 и т.д. Через центр пятиугольника проведем прямую параллельно первой стороне до пересечения с предыдущей. Через точку пересечения проведем прямую, параллельную третьей стороне пятиугольника, до второго ее пересечения с границей пятиугольника. Через новую точку пересечения проведем прямую, параллельную пятой стороне пятиугольника, до второго ее пересечения с границей пятиугольника. Повторяем это построение, на каждом шаге увеличивая на 2 номер стороны пятиугольника, параллельно которой проводим очередной отрезок. Докажите, что полученная ломаная вскоре замкнется. Сколько звеньев будет иметь замкнутая ломаная? Сколько у нее будет точек самопересечения?
5. У Коли есть 8 кубиков, грани которых единообразно закрашены в 6 разных цветов. Коля хочет сложить из них куб вдвое большего размера так, чтобы каждая его грань складывалась из четвертинок одного и того же цвета. Сколько различных цветов может при этом оказаться на поверхности большого куба?
6. Один фермер привёз на рынок 71 тонну масла, которое он хотел бы продать по 55 евро за тонну, и 73 тонны сыра по 59 евро за тонну. У другого фермера 73 тонны масла по 56 евро за тонну и 75 тонн сыра по 58 евро за тонну. Каждый фермер согласен отдать весь свой товар, если итоговая сумма совпадёт с той, которую он намеревался выручить за всю партию. Перекупщик хочет скупить обе партии товара, назначив одни и те же для обоих фермеров цены масла и сыра. Какие именно цены он должен назначить, чтобы скупить обе партии товара?

10 класс
1. Береговая линия пруда состоит из n прямолинейных отрезков. Когда ударил мороз, лёд покрыл часть пруда на расстоянии до 100м от береговой линии. Оказалось, что оставшаяся незамёрзшей часть пруда состоит из трёх несвязанных между собой частей. Найдите наименьшее  n, при котором это возможно.
2. На плоскости выбрали n точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые из них выделили красным цветом, а все остальные – синим. Затем каждую синюю точку соединили с каждой красной. Оказалось, что провели ровно 2011 отрезков. Найдите   n.
3. Вершины правильного многоугольника занумеровали по порядку. Одну из вершин соединили отрезками с 1-й и 2011-й. Оказалось, что угол между этими отрезками равен 30º. Сколько сторон у этого правильного многоугольника? 
4. Найдите наименьшее значение суммы нескольких натуральных чисел, сумма попарных произведений которых равна 2011. 
5. Найдите  все целые n, для которых   
.

6. Известно, что 0≤x≤y≤z≤1 , (1─x)(1─y)=2/3 , (1─y)(1─z)=1/3. Найдите наименьшее и  наибольшее возможные значения (1─x)(1─z).

11 класс
1. Береговая линия пруда состоит из n прямолинейных отрезков. Когда ударил мороз, лёд покрыл часть пруда на расстоянии до 100м от береговой линии. Оказалось, что оставшаяся незамёрзшей часть пруда состоит из трёх несвязанных между собой частей. Найдите наименьшее  n, при котором это возможно.
2. На плоскости выбрали n точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые из них выделили красным цветом, а все остальные – синим. Затем каждую синюю точку соединили с каждой красной. Оказалось, что провели ровно 2011 отрезков. Найдите   n.
3. Найдите наименьшее значение суммы трёх натуральных чисел, сумма попарных произведений которых равна 2011. 
4. Найдите наибольшее возможное значение s, при котором корнями уравнения x3+sx2+2011x+p=0  служат три натуральных числа. 
5. Найдите  все целые n, для которых   
.

6. Даны три функции:  f(x)=sinx , g(x)=πx и h(x)=[x]  (целая часть числа х). Постройте не менее двух непрерывных функций, формульное выражение каждой из которых представляло бы собой композицию с участием всех трёх данных функций и только их.

12 класс
1. Береговая линия пруда состоит из n прямолинейных отрезков. Когда ударил мороз, лёд покрыл часть пруда на расстоянии до 100м от береговой линии. Оказалось, что оставшаяся незамёрзшей часть пруда состоит из трёх несвязанных между собой частей. Найдите наименьшее  n, при котором это возможно.
2. На плоскости выбрали n точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые из них выделили красным цветом, а все остальные – синим. Затем каждую синюю точку соединили с каждой красной. Оказалось, что провели ровно 2011 отрезков. Найдите   n.
3. Найдите наименьшее значение суммы нескольких натуральных чисел, сумма попарных произведений которых равна 2011. 
4. Числа р и q=16p3+2p+1 – простые. Найдите хотя бы три пары (р и q) с таким свойством.
5. Найдите  все целые n, для которых   
.

6. Даны три функции:  f(x)=sinx , g(x)=πx и h(x)=[x]  (целая часть числа х). Постройте не менее двух непрерывных функций, формульное выражение каждой из которых представляло бы собой композицию с участием всех трёх данных функций и только их.